Для a > 0 решить неравенство ax² − (2a−1)x + 2 ≥ 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим все влево. Вычитая $2x$, объединяем оба линейных слагаемых:

   $ax^{2}-\left[(2a-1)+2\right]x+2\ge 0\ \Longrightarrow\ ax^{2}-(2a+1)x+2\ge 0$

2. 2

   Вынесем квадратный трехчлен за скобки. Пробуем разложение $(x-2)(ax-1)$ и проверяем раскрытием скобок:

   $(x-2)(ax-1)=ax^{2}-x-2ax+2=ax^{2}-(2a+1)x+2\ \checkmark$

   Таким образом, неравенство принимает вид $(x-2)(ax-1)\ge 0$.

3. 3

   Приведём к нормальному виду по старшему коэффициенту. Так как $a>0$, деление на $a$ знак неравенства не меняет, а $ax-1=a\left(x-\tfrac1a\right)$:

   $(x-2)\left(x-\frac{1}{a}\right)\ge 0$

   Корни — $2$ и $\tfrac1a$; ветви параболы направлены вверх, значит, решение — вне корней. Но какой из корней левее, зависит от $a$.

4. 4

   Случай $0<a<\tfrac12$ (то есть $\tfrac1a>2$). Корни по возрастанию: $2<\tfrac1a$, значит,

   $\left(-\infty,2\right]\cup\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$

   Проверим на $a=\tfrac14$ (корни $2$ и $4$): при $x=0$ выражение $2\ge 0$ ✓, при $x=3$ — $-\tfrac14<0$ ✗, при $x=5$ — $\tfrac34\ge 0$ ✓.

5. 5

   Случай $a=\tfrac12$ (то есть $\tfrac1a=2$). Корни совпадают, неравенство превращается в $\tfrac12(x-2)^{2}\ge 0$, что выполняется при любом $x$:

   $x\in\mathbb{R}$

6. 6

   Случай $a>\tfrac12$ (то есть $\tfrac1a<2$). Теперь меньший корень — $\tfrac1a$:

   $\left(-\infty,\frac{1}{a}\right]\cup\left[2,+\infty\right)$

7. 7

   Объединяем три случая. Весь ответ определяется сравнением $\tfrac1a$ и $2$, то есть тем, выполняется ли $a<\tfrac12$, $a=\tfrac12$ или $a>\tfrac12$ — стандартный приём для параметрических квадратных неравенств, где корни зависят от параметра.