Если x = (√3 + 1)/(√3 − 1) и y = (√3 − 1)/(√3 + 1), найдите x + y, xy, x² + y², x³ + y³ и 4x² + 7xy + 4y².

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала избавляемся от иррациональности в знаменателях — после этого все дальнейшие шаги становятся тривиальными. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю:

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   Заметим, что $x$ и $y$ оказались сопряжёнными и $y=1/x$: исходные дроби были взаимно обратными с самого начала.

2. 2

   Вычисляем две основные симметрические величины. Через них выражаются все остальные величины задачи, поэтому только их и приходится считать по-настоящему:

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   В обоих случаях радикалы взаимно уничтожаются — именно ради этого и работают с $x+y$ и $xy$, а не с $x$ и $y$ по отдельности.

3. 3

   Получаем $x^2+y^2$ из квадрата суммы. Раскрывая $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и выражая нужную сумму,

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   Получаем $x^3+y^3$ из куба суммы. Так как $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$, то

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   (Разложение $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ даёт тот же результат — удобная перекрёстная проверка.)

5. 5

   Перегруппируем последнее выражение так, чтобы в нём остались только известные величины.

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   Весь приём — в том, чтобы разбить средний коэффициент: запись $7xy=8xy-xy$ тоже сработала бы, но вынести сразу $4(x^2+y^2)$ короче.

6. 6

   Проверяем численно. $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$ и $y=2-\sqrt3\approx0.2679492$. Тогда $x+y\approx4.000000$, $xy\approx1.000000$, $x^3+y^3\approx51.999999$ и $4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$, что совпадает с точными значениями.