Решите 3x⁴ + 18x³ + 38x² + 32x + 12 = 0. Есть ли вещественные решения?

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим очевидные кандидаты — и исключим их. Коэффициенты выглядят так, будто многочлен можно разложить как $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$. Проверим это подстановкой:

   $f(-1)=3-18+38-32+12=3,\qquad f(-2)=48-144+152-64+12=4.$

   Ни одно из значений не равно нулю, значит, $x=-1$ и $x=-2$ не являются корнями. Если раскрыть скобки в $3(x+1)^{2}(x+2)^{2}$, получится $3x^{4}+18x^{3}+39x^{2}+36x+12$, что отличается от исходного многочлена в коэффициентах при $x^{2}$ и $x$.

2. 2

   Исключим все рациональные корни. По теореме о рациональных корнях любой рациональный корень имеет вид $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid 12$, $q\mid 3$, то есть возможные значения: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac23,\pm\tfrac43$. Все коэффициенты положительны, значит $f(x)>0$ при всех $x\ge 0$, и проверять нужно только отрицательные значения — ни одно из них не обращает многочлен в ноль. Рациональных корней, а значит и разложения на рациональные множители второй степени, нет.

3. 3

   Дополнить до полного квадрата на уровне четвертой степени. Подберём константу $a$ так, чтобы $f(x)-3(x^{2}+3x+a)^{2}$ стало положительно определённым квадратным трёхчленом. Так как

   $3(x^{2}+3x+a)^{2}=3x^{4}+18x^{3}+(27+6a)x^{2}+18ax+3a^{2},$

   выбор $a=\tfrac32$ приводит к разложению

   $f(x)=3\left(x^{2}+3x+\tfrac32\right)^{2}+2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}.$

4. 4

   Покажем, что оставшийся квадратный трёхчлен всегда положителен. Для $2x^{2}+5x+\tfrac{21}{4}$ дискриминант равен

   $25-4(2)\left(\tfrac{21}{4}\right)=25-42=-17<0,$

   а минимальное значение — $\tfrac{21}{4}-\tfrac{25}{8}=\tfrac{17}{8}$. Первый слагаемый — квадрат, умноженный на 3, всегда неотрицателен, значит

   $f(x)\ge \tfrac{17}{8}>0\quad\text{для всех вещественных }x.$

   Четвертая степень, не достигающая нуля, не имеет вещественных корней.

5. 5

   Численно найдём четыре комплексных корня. Так как коэффициенты вещественные, корни попарно сопряжённые. При численном решении получаем

   $x\approx-2.384922\pm 0.678668i,\qquad x\approx-0.615078\pm 0.521776i.$

   Проверим по Виету: сумма корней $-6=-\tfrac{18}{3}$ ✓, произведение $4=\tfrac{12}{3}$ ✓. Соответствующее вещественное разложение: $3(x^{2}+4.76984x+6.14844)(x^{2}+1.23016x+0.65057)$, ни один множитель не имеет рациональных коэффициентов.