Решите неравенство: логарифм по основанию 5 от (x − 3 умножить на квадратный корень из x + 32) меньше, чем 2 умножить на логарифм по основанию 5 от (квадратный корень из x + 2), и укажите наименьшее целое положительное решение.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим область допустимых значений. Корень требует $x\ge0$. При замене $t=\sqrt{x}\ge0$ первый аргумент равен $t^2-3t+32$, и его дискриминант равен $9-128=-119<0$; старший коэффициент положителен, поэтому это выражение всегда положительно. Второй аргумент тоже положителен: $\sqrt{x}+2\ge2>0$. Значит, область допустимых значений — просто $x\ge0$, и ни одно из решений дальше не потеряется.

2. 2

   Вносим множитель 2 под знак логарифма. По свойству $k\log_b u=\log_b u^k$:

   $2\log_5(\sqrt{x}+2)=\log_5\left((\sqrt{x}+2)^2\right)$

   Теперь в обеих частях стоит один логарифм с одинаковым основанием — только в таком виде аргументы можно сравнивать напрямую.

3. 3

   Снимаем логарифмы. Так как основание $5>1$, функция $\log_5$ возрастает, поэтому неравенство между логарифмами равносильно такому же неравенству между аргументами (знак сохраняется; при основании меньше $1$ он бы поменялся):

   $x-3\sqrt{x}+32 < (\sqrt{x}+2)^2$

4. 4

   Раскрываем скобки и сокращаем. Справа получается $x+4\sqrt{x}+4$, и слагаемые с $x$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

   $-3\sqrt{x}+32 < 4\sqrt{x}+4 \quad\Longrightarrow\quad 28 < 7\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}>4$

5. 5

   Возводим в квадрат без потерь. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат сохраняет неравенство:

   $x>16$

6. 6

   Выписываем наименьшее целое. Наименьшее целое, строго большее $16$, — это $x=17$, и оно лежит в области допустимых значений $x\ge0$. Проверка: $17-3\sqrt{17}+32\approx36.63$, тогда как $(\sqrt{17}+2)^2\approx37.25$, то есть при $x=17$ неравенство действительно выполняется, а при $x=16$ — нет (обе части равны $36$).