Упростить рациональное выражение (x² + 3x − 10)/(x² − 4) и указать ограничения на x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим числитель, подобрав пару чисел с нужными суммой и произведением. Для $x^2 + 3x - 10$ нужны два числа с произведением $-10$ и суммой $3$: это $5$ и $-2$.

   $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

2. 2

   Знаменатель разложим по формуле разности квадратов. Здесь $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$, поэтому

   $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

   Формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ стоит замечать сразу — это быстрее, чем подбирать пару множителей.

3. 3

   Запишем ограничения до сокращения. Исходное выражение не определено там, где знаменатель обращается в нуль, поэтому $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Записать это нужно именно сейчас: следующий шаг уничтожит все следы точки $x = 2$.

4. 4

   Сократим общий множитель. И в числителе, и в знаменателе есть $(x-2)$:

   $\frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{x+2}$

   Сокращённый $(x-2)$ оставляет на графике устранимый разрыв в точке $x = 2$: у упрощённой формы там есть значение $\tfrac{7}{4}$, а у исходной — нет.

5. 5

   Проверим на контрольном значении. При $x = 3$ исходное выражение равно $\tfrac{9+9-10}{9-4} = \tfrac{8}{5} = 1.6$, а упрощённое даёт $\tfrac{3+5}{3+2} = \tfrac{8}{5} = 1.6$. Значения совпадают всюду, кроме исключённых точек.