Решите −0,0164x² + 0,3655x + 25,151 = 0 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Обратим внимание на малый старший коэффициент. При $a=-0.0164$, $b=0.3655$, $c=25.151$ квадратный член становится соизмерим с константой только при достаточно больших $x$:

   $|a|x^2\approx 25\ \Longrightarrow\ x\approx\sqrt{\tfrac{25}{0.0164}}\approx 39$

   Следовательно, ожидается, что корни будут большими по модулю — это полезно учитывать до вычислений.

2. 2

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta=0.3655^2-4(-0.0164)(25.151)=0.133590+1.649906=1.783496$

   $\sqrt{\Delta}=1.335476$

   Необычно, что $b^2$ и $-4ac$ здесь близки по величине, так как и $a$, и $b$ малы.

3. 3

   Применим формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{2(-0.0164)}=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{-0.0328}$

   Деление на очень малое $-0.0328$ приводит к тому, что даже небольшой числитель даёт большие по модулю корни.

4. 4

   Вычислим оба корня.

   $x_1=\frac{-0.3655+1.335476}{-0.0328}=-29.5724,\qquad x_2=\frac{-0.3655-1.335476}{-0.0328}=51.8590$

   Вершина параболы находится в точке $x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{0.3655}{0.0328}=11.143$, ровно посередине между корнями, а максимальное значение $y\approx 27.19$.

5. 5

   Проверим по формулам Виета. Сумма корней должна быть $-\tfrac{b}{a}=\tfrac{0.3655}{0.0164}=22.2866$, и $-29.5724+51.8590=22.2866\;\checkmark$. Произведение — $\tfrac{c}{a}=\tfrac{25.151}{-0.0164}=-1533.60$, и $(-29.5724)(51.8590)=-1533.60\;\checkmark$. Эти проверки особенно важны, так как деление на малое число усиливает любую ошибку округления в числителе.