Упростить произведение (2x − √2x − 1)(2x + √2x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Стоит искать признак разности квадратов, а не просто перемножать все девять слагаемых. Оба множителя совпадают, кроме знака перед $\sqrt{2x}$. Это характерный случай формулы $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, если правильно сгруппировать слагаемые.

2. 2

   Выберем группировку. Всё, что не меняет знак, обозначим за $a$, а радикал — за $b$:

   $a = 2x - 1, \qquad b = \sqrt{2x}$

   Тогда исходное выражение принимает вид $\left(a - b\right)\left(a + b\right)$.

3. 3

   Применим формулу разности квадратов.

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2 = (2x-1)^2 - \left(\sqrt{2x}\right)^2$

   Радикал исчезает за один шаг — ради этого и выбиралась такая группировка.

4. 4

   Раскроем каждый квадрат.

   $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x$

5. 5

   Выполним вычитание и приведём подобные.

   $4x^2 - 4x + 1 - 2x = 4x^2 - 6x + 1$

6. 6

   Проверим на числовом примере при $x = 2$. Множители: $4 - 2 - 1 = 1$ и $4 + 2 - 1 = 5$, произведение $5$. В упрощённой форме: $4(4) - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$. Совпадает. (Заметим, что исходное выражение определено только при $x \ge 0$, а многочлен — при всех $x$.)