На графике изображена система y = 2/(x − 2) − 1 и y = 2|x − 2| − 4. Какой набор точек является полным решением: (4,0); (0,0) и (4,0); (0,0), (0,−2) и (4,0); или (0,−2) и (4,0)?

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем замену u = x − 2, чтобы использовать общий сдвиг. Обе кривые построены вокруг точки $x=2$, и замена убирает этот сдвиг сразу из обеих:

   $\frac{2}{u}-1=2|u|-4\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{u}+3=2|u|,\qquad u\neq 0.$

   Ограничение $u\neq 0$ (то есть $x\neq 2$) появляется из-за вертикальной асимптоты первой кривой.

2. 2

   Разбираем случаи по знаку u — случай u > 0. Тогда $|u|=u$, и умножение на $u>0$ равносильно:

   $2+3u=2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}-3u-2=0\ \Longrightarrow\ (2u+1)(u-2)=0.$

   Корни $u=2$ и $u=-\tfrac12$; условию $u>0$ удовлетворяет только $u=2$, что даёт $x=4$.

3. 3

   Случай u < 0. Здесь $|u|=-u$, а умножение уравнения на отрицательное $u$ ничего не переворачивает:

   $2+3u=-2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}+3u+2=0.$

   Дискриминант равен $9-16=-7<0$, вещественных корней нет, и этот случай ничего не добавляет.

4. 4

   Находим ординату уцелевшего решения. При $x=4$:

   $y=\frac{2}{4-2}-1=1-1=0,\qquad y=2|4-2|-4=4-4=0.$

   Обе кривые дают $y=0$, значит точка $(4,0)$ действительно лежит на обеих.

5. 5

   Проверяем точки-ловушки. При $x=0$ первая кривая даёт $y=\tfrac{2}{-2}-1=-2$, а вторая — $y=2(2)-4=0$. Значит, $(0,0)$ лежит только на графике модуля, а $(0,-2)$ — только на графике дробной функции, и ни одна из них не является решением системы. Именно в этом и состоит ловушка: точка, лежащая на одной кривой, не решение, если она не лежит и на другой.

6. 6

   Записываем полное решение. Система имеет ровно одно решение — $(4,0)$.