Решить уравнение 4.08x² − 652.85x + 10236 = 0 по формуле корней и указать оба корня с тремя знаками после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Выпишем $a$, $b$ и $c$ вместе со знаками. Сравнивая с $ax^{2}+bx+c=0$:

   $a=4.08,\qquad b=-652.85,\qquad c=10236.$

   Средний коэффициент отрицателен; именно аккуратный перенос этого минуса в $-b$ делает оба корня положительными. Так как $a>0$ и $c>0$ при $b<0$, оба корня (если они действительны) обязаны быть положительными.

2. 2

   Вычислим $b^{2}$ и $4ac$ по отдельности. Раздельный подсчёт двух половин дискриминанта делает арифметическую оплошность заметной:

   $b^{2}=652.85^{2}=426213.1225,$

   $4ac=4\times 4.08\times 10236=16.32\times 10236=167051.52.$

   Именно во втором произведении чаще всего ошибаются: $16.32\times10236=163776+3275.52$, и если потерять слагаемое $0.32\times10236=3275.52$, дискриминант окажется неверным примерно на $25$.

3. 3

   Составим дискриминант и извлечём из него корень. Вычитая, получаем

   $\Delta=426213.1225-167051.52=259161.6025,$

   $\sqrt{\Delta}=509.07917\ldots$

   Поскольку $\Delta>0$, корней два и они различны — это согласуется с рассуждением о знаках из шага 1.

4. 4

   Применим формулу при $2a=8.16$. Подставляя,

   $x=\frac{652.85\pm 509.07917}{8.16}.$

   Ветвь со знаком плюс: $\dfrac{1161.92917}{8.16}=142.39328$. Ветвь со знаком минус: $\dfrac{143.77083}{8.16}=17.61897$.

5. 5

   Проверим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a$, а произведение — $c/a$:

   $142.39328+17.61897=160.01225=\frac{652.85}{4.08} ✓,$

   $142.39328\times 17.61897=2508.82\ldots=\frac{10236}{4.08} ✓.$

   Оба соотношения выполняются, что подтверждает и арифметику дискриминанта, и деление.