Решите уравнение 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем симметрию относительно замены x на 1/x. Уравнение не меняется, если $x$ заменить на $\tfrac1x$, — это прямой сигнал сделать подстановку

   $t=x+\frac1x$

   Заметим сразу, что $x=0$ исключено из области допустимых значений.

2. 2

   Выражаем вторую скобку через t. Возведём подстановку в квадрат:

   $t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

   Именно удвоенное произведение, дающее $+2$, чаще всего и теряют.

3. 3

   Переписываем и упрощаем уравнение.

   $7t-2\left(t^{2}-2\right)=9\ \Longrightarrow\ 7t-2t^{2}+4=9\ \Longrightarrow\ 2t^{2}-7t+5=0$

4. 4

   Находим t.

   $(2t-5)(t-1)=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac52\ \text{или}\ t=1$

5. 5

   Возвращаемся к x для каждого значения t. При $t=\tfrac52$:

   $x+\frac1x=\frac52\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0\ \Longrightarrow\ (2x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=\tfrac12\ \text{или}\ x=2$

   При $t=1$:

   $x+\frac1x=1\ \Longrightarrow\ x^{2}-x+1=0$

   дискриминант равен $1-4=-3<0$: вещественных решений нет. Отбрасывание здесь неизбежно: для вещественных $x\neq 0$ величина $x+\tfrac1x$ всегда удовлетворяет условию $|t|\ge 2$, а $t=1$ его нарушает.

   $\boxed{x=2\ \text{или}\ x=\tfrac12}$

6. 6

   Проверяем оба корня. При $x=2$: $x+\tfrac1x=2.5$ и $x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$, поэтому $7(2.5)-2(4.25)=17.5-8.5=9$ ✓. При $x=\tfrac12$ те же две величины принимают те же значения (в силу симметрии относительно замены на обратное), так что проверка проходит точно так же ✓.