Дано: x = √(10 − 2√5)/4 × c и a² + (φx)² = c², где φ — золотое сечение. Найдите a через c.

Step-by-step solution

1. 1

   Возведём выражение для $x$ в квадрат. После возведения в квадрат внешний радикал исчезает:

   $x^{2}=\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}$

2. 2

   Вычислим $\varphi^{2}$, используя определяющее свойство золотого сечения. Поскольку $\varphi$ удовлетворяет $\varphi^{2}=\varphi+1$,

   $\varphi^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\frac{3+\sqrt5}{2}$

   Это позволяет не раскрывать скобки в $\left(\tfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^{2}$ вручную.

3. 3

   Перемножим, чтобы найти $(\varphi x)^{2}$.

   $(\varphi x)^{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}\cdot\frac{10-2\sqrt5}{16}c^{2}=\frac{(3+\sqrt5)(10-2\sqrt5)}{32}c^{2}$

   Раскроем скобки: $30-6\sqrt5+10\sqrt5-2\cdot5=20+4\sqrt5$, значит

   $(\varphi x)^{2}=\frac{20+4\sqrt5}{32}c^{2}=\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}$

4. 4

   Выразим $a^{2}$. По формуле $a^{2}=c^{2}-(\varphi x)^{2}$:

   $a^{2}=c^{2}-\frac{5+\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{8-5-\sqrt5}{8}c^{2}=\frac{3-\sqrt5}{8}c^{2}$

   Численно проверено с точностью до $10^{-14}$ ✓. Заметим, что $3-\sqrt5\approx0.7639>0$, значит, вещественное $a$ существует.

5. 5

   Раскроем радикал. Извлекая корень, получаем $a=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt5}}{2\sqrt2}c=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt5}}{4}c$. Проверим, можно ли упростить выражение под корнем:

   $\left(\sqrt5-1\right)^{2}=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5\ \checkmark$

   Значит, $\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1$ (положительно, так как $\sqrt5>1$), и

   $a=\frac{\sqrt5-1}{4}c$

6. 6

   Проверим значение и его смысл. Численно $a\approx0.309017c$, что совпадает с $\dfrac{\sqrt5-1}{4}=0.30901699\ldots$ до $10^{-14}$ ✓. Это число равно $\tfrac{1}{2\varphi}$, ведь $\varphi^{-1}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ — обратное золотое сечение, что объясняет появление этих длин в геометрии правильного пятиугольника.