Решить двойное неравенство 8 < 60(1 + x)/7 < 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Прикинем, где окажется ответ. При $x=0$ среднее выражение равно $\tfrac{60}{7}=8.571$, а это уже внутри нужного окна $(8,9)$. Значит, $x=0$ — решение, и промежуток обязан захватывать ноль: одна граница отрицательная, другая положительная.

2. 2

   Умножим все три части на 7. Множитель положительный, поэтому оба знака неравенства сохраняются:

   $56<60(1+x)<63$

3. 3

   Разделим все три части на 60, попутно сокращая дроби.

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   (у $56$ и $60$ общий делитель $4$; у $63$ и $60$ — $3$.)

4. 4

   Вычтем 1 из всех трёх частей.

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   Одна граница отрицательная, другая положительная — ровно как и предсказывали, и $0$ лежит внутри ✓.

5. 5

   Сравним с соседними задачами. Сдвиг окна на единицу вверх, с $(7,8)$ до $(8,9)$, переводит решение из целиком отрицательного $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ в этот промежуток, содержащий ноль. Каждой единице целевого диапазона отвечает ширина $\tfrac{7}{60}$ по $x$, поскольку $x$ меняется на $\tfrac{7}{60}$ при изменении $\tfrac{60(1+x)}{7}$ на единицу.

6. 6

   Проверим обе границы точно. При $x=-\tfrac{1}{15}$: $1+x=\tfrac{14}{15}$ и $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓. При $x=\tfrac{1}{20}$: $1+x=\tfrac{21}{20}$ и $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓. Оба неравенства строгие, поэтому промежуток открыт с обеих сторон.