Разложите -3x⁶ + 12x¹² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем слагаемые в стандартном порядке. Приведение к стандартному виду позволяет сделать первый коэффициент положительным и сразу увидеть структуру выражения:

   $12x^{12}-3x^6$

2. 2

   Вынесем наибольший общий множитель. Наибольший общий делитель чисел $12$ и $3$ — это $3$, а по $x$ — это $x^6$:

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(4x^6-1\right)$

3. 3

   На этом не останавливаемся — анализируем скобку. $4x^6=\left(2x^3\right)^2$, $1=1^2$, значит, $4x^6-1$ — это разность квадратов. Если оставить ответ в виде $3x^6(4x^6-1)$, разложение будет неполным.

4. 4

   Применим формулу $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ при $A=2x^3$, $B=1$.

   $4x^6-1=\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

   $12x^{12}-3x^6=3x^6\left(2x^3-1\right)\left(2x^3+1\right)$

5. 5

   Проверим, что дальше разложить нельзя (над рациональными). $2x^3\mp 1$ не разлагается на множители через сумму или разность кубов, так как $2$ не является рациональным кубом. Проверим подстановкой $x=1$: исходное выражение $=12-3=9$, а $3(1)(2-1)(2+1)=3\cdot 1\cdot 3=9$ $\checkmark$.