Раскрыть и разложить (ax + by + ay)² + (bx − ay)(ax + by + ay) + (bx − ay)².

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим повторяющиеся блоки, чтобы увидеть структуру выражения. Пусть

   $A=ax+by+ay,\qquad B=bx-ay$

   Тогда всё выражение принимает вид

   $A^2+AB+B^2$

   Такое выражение не раскладывается по $A$ и $B$ отдельно, поэтому смысл разложения раскрывается только при раскрытии скобок и группировке по переменным.

2. 2

   Раскроем $A^2$ по членам. В $A$ три слагаемых, значит, получаем три квадрата и три удвоенных произведения:

   $A^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+2a^2xy+2aby^2$

   Обратите внимание на $2a^2xy$ — этот член получается из $2(ax)(ay)$ и часто теряется при раскрытии. Его отсутствие меняет итоговый ответ.

3. 3

   Раскроем произведение $AB$ и квадрат $B^2$.

   $AB=(ax+by+ay)(bx-ay)=abx^2-a^2xy+b^2xy-aby^2+abxy-a^2y^2$

   $B^2=(bx-ay)^2=b^2x^2-2abxy+a^2y^2$

4. 4

   Сгруппируем по степеням: $x^2$, $xy$, $y^2$. Важно внимательно проследить за коэффициентами при $xy$:

   $x^2:\quad a^2+ab+b^2$

   $xy:\quad \underbrace{2ab+2a^2}_{A^2}\ \underbrace{-a^2+b^2+ab}_{AB}\ \underbrace{-2ab}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   $y^2:\quad \underbrace{b^2+a^2+2ab}_{A^2}\ \underbrace{-ab-a^2}_{AB}\ \underbrace{+a^2}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   Во всех трёх случаях получаем одинаковый коэффициент $a^2+ab+b^2$.

5. 5

   Вынесем общий множитель за скобки. Так как каждый блок содержит один и тот же коэффициент,

   $A^2+AB+B^2=(a^2+ab+b^2)\left(x^2+xy+y^2\right)$

6. 6

   Проверим результат на числовом примере. Возьмём $a=2$, $b=3$, $x=4$, $y=5$. Тогда $A=2(4)+3(5)+2(5)=33$, $B=3(4)-2(5)=2$, значит

   $A^2+AB+B^2=1089+66+4=1159$

   Факторизованная форма даёт $(4+6+9)(16+20+25)=19\cdot 61=1159$. Совпадает, а значит, коэффициент при $xy$ найден верно и ошибка вида $-a^2+ab+b^2$ исключена.