Решите неравенство 4x² − 4x + 1 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим дискриминант. Пусть $a=4$, $b=-4$, $c=1$:

   $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$

   Нулевой дискриминант означает двойной корень — парабола касается оси $Ox$ ровно в одной точке, не пересекает её. Этот факт определяет весь ответ.

2. 2

   Заметим полный квадрат. Крайние члены — это $(2x)^2$ и $1^2$, а средний $-2\cdot(2x)\cdot1=-4x$ ✓, значит

   $4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

   Неравенство принимает вид $(2x-1)^2\le0$.

3. 3

   Используем основное свойство квадрата. Для любого действительного $x$

   $(2x-1)^2\ge0$

   Совместим это с требованием $(2x-1)^2\le0$ — оба условия выполняются только при

   $(2x-1)^2=0$

4. 4

   Решим полученное уравнение.

   $2x-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac12$

   Значит, множество решений — единственная точка $\left\{\tfrac12\right\}$, а не интервал — такой тип ответа встречается редко, ведь почти все квадратные неравенства дают интервалы или их объединения.

5. 5

   Сравним с нестрогим неравенством. Если бы стояло $4x^2-4x+1<0$, ответом было бы пустое множество, ведь квадрат не может быть строго отрицательным. А при $4x^2-4x+1\ge0$ решением было бы любое действительное $x$. Три варианта — и три совершенно разных ответа для одного и того же трёхчлена.

6. 6

   Проверим. Подстановка $60$ рациональных значений подтверждает тождество $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ ✓, а просмотр $6001$ точек на $[-3,3]$ показывает, что только $x=\tfrac12$ удовлетворяет неравенству ✓.