Упростите выражение (2 − (a − b)/(a + b)) умножить на (3 − (a + 2b)/(a + b)) в степени −1, умножить на (2a + b), минус 3b.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разберём структуру выражения, а потом уже считаем. Здесь перемножены три множителя, а в конце вычитается $-3b$. У среднего множителя показатель $-1$, что означает просто обратную величину — это не вычитание и это не распределяется по скобке. План такой: свернуть каждую скобку в одну дробь, перевернуть вторую, перемножить и только затем разобраться с завершающим $-3b$.

2. 2

   Сворачиваем первую скобку в одну дробь. Запишем $2$ со знаменателем $a+b$, чтобы слагаемые можно было объединить:

   $2-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2(a+b)-(a-b)}{a+b}=\frac{2a+2b-a+b}{a+b}=\frac{a+3b}{a+b}.$

   Минус перед дробью должен подействовать на оба слагаемых $a-b$ — именно отсюда берётся $+b$.

3. 3

   То же самое делаем со второй скобкой, а затем переворачиваем её. Используя $3=\dfrac{3(a+b)}{a+b}$:

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3a+3b-a-2b}{a+b}=\frac{2a+b}{a+b}.$

   Показатель $-1$ переворачивает эту дробь:

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}.$

4. 4

   Перемножаем три множителя и сокращаем. Теперь всё готово к сокращению: $a+b$ сокращается с $a+b$, а $2a+b$ — с третьим множителем:

   $\frac{a+3b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a+3b.$

   Именно ради этого сокращения в условии подобраны такие числители.

5. 5

   Вычитаем оставшееся слагаемое. Завершающее $-3b$ уничтожает уцелевшее $3b$:

   $a+3b-3b=a.$

   Значит, всё выражение равно просто $a$. Стоит отдельно указать ограничения, которые несла исходная запись: нужно $a+b\neq 0$ (из-за дробей) и $2a+b\neq 0$ (основание в степени $-1$ должно быть ненулевым). Числовая проверка при $a=-\tfrac{37}{5}$, $b=\tfrac{38}{9}$ даёт $-\tfrac{37}{5}$, что совпадает с $a$.