Найти все действительные решения уравнения 6^x = x^18.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся с областью допустимых значений. При $x>0$ обе части положительны. При $x<0$ правая часть $x^{18}$ по-прежнему положительна, так как показатель чётный, и $6^x>0$ тоже, поэтому отрицательные $x$ допустимы. При $x=0$ получается $1=0$ — неверно, значит, $x=0$ исключается.

2. 2

   Сведём положительный случай к одной функции, сначала возрастающей, затем убывающей. Логарифмируя $6^x=x^{18}$ при $x>0$:

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   У функции $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ производная равна $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$, поэтому она возрастает на $(0,e]$ и убывает на $[e,\infty)$ с максимумом $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$. Так как $0<0.0995<\tfrac1e$, горизонтальная прямая пересекает график ровно дважды.

3. 3

   Заметим точный большой корень. Попробуем $x=36$: поскольку $36=6^2$,

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   значит, $x=36$ удовлетворяет уравнению точно. Подтверждение через $g$: $\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$.

4. 4

   Найдём малый положительный корень численно. Он обязан лежать в $(1,e)$, так как $g(1)=0$, а $g$ возрастает до $g(e)$. Метод половинного деления для $g(x)-0.0995422$ даёт

   $x\approx 1.1176815$

   Проверка: $6^{1.1176815}\approx 7.4084$ и $1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$.

5. 5

   Покажем, что отрицательный корень ровно один. Положим $x=-t$ с $t>0$; уравнение превращается в $6^{-t}=t^{18}$, то есть $h(t)=6^{t}t^{18}=1$. Поскольку

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   функция $h$ строго возрастает от $0$ до $\infty$, поэтому уравнение $h(t)=1$ имеет ровно одно решение. Половинное деление даёт $t\approx 0.9131150$, то есть $x\approx-0.9131150$; при этом $6^{x}\approx 0.194741$ и $x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$.

6. 6

   Соберём все три корня. Один отрицательный, два положительных, и других нет в силу приведённых выше рассуждений о монотонности:

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$