Решите уравнение x² + 3x + 6 = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Перенесём свободный член и получим стандартный вид. Вычтем $1$ из обеих частей:

   $x^2+3x+5=0$

   Свободный член стал равен $5$, а не $7$, — и пропуск этого шага является самой частой ошибкой, ведь в формулу корней подставляется $c$ именно из нулевой формы.

2. 2

   Вычислим дискриминант. При $a=1$, $b=3$, $c=5$

   $\Delta=3^2-4(1)(5)=9-20=-11$

   Отрицательный дискриминант означает, что парабола не достаёт до оси $x$: действительных решений нет. (И правда, минимум выражения $x^2+3x+6$ равен $6-\frac94=3.75$, что заметно больше $1$.)

3. 3

   Всё же применим формулу корней — уже над комплексными числами.

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{-11}}{2}$

4. 4

   Перепишем корень из отрицательного числа через $i$. Так как $\sqrt{-11}=i\sqrt{11}$,

   $x=\frac{-3\pm i\sqrt{11}}{2}$

   Два решения комплексно сопряжены — так всегда бывает у квадратного уравнения с действительными коэффициентами при $\Delta<0$.

5. 5

   Проверим через сумму и произведение. Сумма корней должна равняться $-b/a=-3$: действительно, $\frac{-3+i\sqrt{11}}{2}+\frac{-3-i\sqrt{11}}{2}=-3$ ✓. Произведение должно равняться $c/a=5$:

   $\frac{(-3)^2-\left(i\sqrt{11}\right)^2}{4}=\frac{9+11}{4}=5$ ✓