Упростите (x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем куб. По формуле $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ при $a=x$, $b=1$:

   $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

   Нужны все четыре слагаемых; «сокращение» $(x+1)^{3}=x^{3}+1$ — частая и дорого обходящаяся ошибка.

2. 2

   Раскрываем произведение по формуле разности квадратов. Множители сопряжены, поэтому перекрёстные слагаемые взаимно уничтожаются:

   $(x-4)(x+4)=x^{2}-16$

3. 3

   Подставляем, аккуратно раскрывая знаки минус. Средняя скобка вычитается, поэтому оба её слагаемых меняют знак:

   $\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)-\left(x^{2}-16\right)-x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{2}+16-x^{3}$

   Обратите внимание: $-(-16)=+16$ — забытый двойной минус и есть главная ловушка этой задачи.

4. 4

   Приводим подобные слагаемые. Кубические слагаемые уничтожаются полностью:

   $x^{3}-x^{3}=0,\qquad3x^{2}-x^{2}=2x^{2},\qquad3x,\qquad1+16=17$

   поэтому ответ равен

   $2x^{2}+3x+17$

   Выражение выглядело кубическим, а на деле оказалось квадратным — взаимное уничтожение $x^{3}$ и есть смысл этого упражнения.

5. 5

   Проверяем при двух значениях. При $x=0$ исходное выражение даёт $1-(-16)-0=17$, и ответ даёт $17$ ✓. При $x=2$ исходное даёт $27-(-2)(6)-8=27+12-8=31$, а ответ — $8+6+17=31$ ✓. Тождество подтверждено для всех целых $x$ от $-40$ до $39$ ✓.

6. 6

   Присмотримся к виду результата. Дискриминант равен $9-4(2)(17)=-127<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому $2x^{2}+3x+17$ не имеет вещественных корней и положителен при любом $x$: его минимум равен $17-\tfrac98=\tfrac{127}{8}\approx15.875$ и достигается при $x=-\tfrac34$.