Разложить 3x³ + 7x² − 4 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Составим список возможных рациональных корней по признаку рационального корня. Рациональный корень $p/q$ должен удовлетворять $p\mid 4$ и $q\mid 3$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm\tfrac13,\ \pm\tfrac23,\ \pm\tfrac43$

2. 2

   Проверим целые значения. Пусть $f(x)=3x^3+7x^2-4$:

   $f(-1)=-3+7-4=0$

   Значит, $x=-1$ — корень, а $(x+1)$ — множитель.

3. 3

   Выполним деление многочлена на $(x+1)$ с помощью схемы Горнера. Коэффициенты: $3,\,7,\,0,\,-4$, делитель $-1$:

   $3\quad 4\quad -4\ \ |\ \ 0$

   Получаем частное $3x^2+4x-4$ и остаток $0$.

4. 4

   Разложим квадратный трёхчлен методом произведения и суммы (метод группировки). $ac=3\cdot(-4)=-12$, требуется разложить $4$ на слагаемые $6$ и $-2$:

   $3x^2+6x-2x-4=3x(x+2)-2(x+2)=(3x-2)(x+2)$

5. 5

   Соберём итоговое разложение и проверим результат:

   $3x^3+7x^2-4=(x+1)(x+2)(3x-2)$

   Проверим раскрытием скобок: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, далее $(x^2+3x+2)(3x-2)=3x^3-2x^2+9x^2-6x+6x-4=3x^3+7x^2-4$ $\checkmark$. Корни: $-1$, $-2$, $\tfrac23$; проверка $f\left(\tfrac23\right)=3\cdot\tfrac{8}{27}+7\cdot\tfrac49-4=\tfrac89+\tfrac{28}{9}-4=0$ $\checkmark$.