Найдите и упростите разностное отношение (f(x+h) − f(x))/h для f(x) = 5x² − 3x + 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставим x + h в функцию. Заменяем каждый $x$, включая тот, что стоит внутри квадрата:

   $f(x+h) = 5(x+h)^2 - 3(x+h) + 9 = 5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9$

   Раскрытие $(x+h)^2$ как $x^2 + 2xh + h^2$, а не как $x^2 + h^2$, и порождает слагаемое $10xh$.

2. 2

   Вычтем f(x). Все слагаемые без $h$ обязаны уничтожиться, и это встроенная проверка правильности раскрытия:

   $f(x+h) - f(x) = \left(5x^2 + 10xh + 5h^2 - 3x - 3h + 9\right) - \left(5x^2 - 3x + 9\right) = 10xh + 5h^2 - 3h$

   Константа $9$ и оба слагаемых только с $x$ исчезают, как и всегда.

3. 3

   Вынесем h за скобки в числителе.

   $10xh + 5h^2 - 3h = h\left(10x + 5h - 3\right)$

4. 4

   Сократим h. Это законно, поскольку по условию $h \ne 0$:

   $\frac{h\left(10x + 5h - 3\right)}{h} = 10x + 5h - 3$

5. 5

   Проверим численно и свяжем с производной. При $x = 1.3$, $h = 0.07$ прямое отношение $\tfrac{f(1.37) - f(1.3)}{0.07} = 10.35$, а формула даёт $10(1.3) + 5(0.07) - 3 = 10.35$. При $h \to 0$ остаётся $10x - 3$, что в точности равно $f'(x)$.