Выполните деление (4a² − b²)/(b + 2a) на (b − 2a)² и упростите.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим разность квадратов на множители и представим делитель в виде дроби.

   $4a^{2}-b^{2}=(2a-b)(2a+b),\qquad (b-2a)^{2}=\frac{(b-2a)^{2}}{1}$

   Тогда исходное выражение примет вид:

   $\frac{(2a-b)(2a+b)}{b+2a}\cdot\frac{1}{(b-2a)^{2}}$

2. 2

   Сократим сумму в числителе и знаменателе. Складывать можно в любом порядке, поэтому $b+2a=2a+b$, и эти множители сокращаются:

   $\frac{2a-b}{(b-2a)^{2}}$

3. 3

   Используем свойство квадрата разности. Поскольку $(b-2a)^{2}=(2a-b)^{2}$, выражение можно переписать так:

   $\frac{2a-b}{(2a-b)^{2}}$

   Именно это преобразование позволяет сократить противоположные множители.

4. 4

   Сократим множитель (2a−b).

   $\frac{1}{2a-b}$

   $\boxed{\dfrac{1}{2a-b}}\qquad(2a\neq\pm b)$

5. 5

   Проверим результат на частных значениях. Пусть $a=1$, $b=0$: исходное выражение $=\dfrac{4}{2}\div 4=2\div 4=\tfrac12$, ответ $=\tfrac{1}{2}$ ✓. При $a=1$, $b=1$: исходное $=\dfrac{3}{3}\div 1=1$, ответ $=\tfrac{1}{1}=1$ ✓.

6. 6

   Заметим эквивалентную запись ответа. Ответ можно также записать как $-\dfrac{1}{b-2a}$; разница только в расположении знака, оба варианта верны — но запись $\dfrac{1}{b-2a}$ без минуса была бы ошибкой.