Разложить (x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²) на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним раскрытие скобок. Используется формула $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ при $a=x^{2}$, $b=xy$, $c=y^{2}$:

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}=x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}.$

   Следует обратить внимание, что $2ac=2x^{2}y^{2}$ складывается с $b^{2}=x^{2}y^{2}$, давая коэффициент $3$.

2. 2

   Вычтем второй слагаемый. Поскольку $4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=4x^{3}y+4xy^{3}$,

   $x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}=x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}.$

   Знак меняется только у двух нечётных смешанных членов; результат остаётся симметричным по $x$ и $y$ и палиндромным по коэффициентам $1,-2,3,-2,1$.

3. 3

   Используем палиндромную структуру. Симметричный многочлен четвёртой степени с равными крайними коэффициентами естественно представить в виде

   $\left(x^{2}+axy+y^{2}\right)\left(x^{2}+bxy+y^{2}\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}y+(ab+2)x^{2}y^{2}+(a+b)xy^{3}+y^{4}.$

   Совпадение коэффициентов при $x^{3}y$ и $xy^{3}$ — именно то, что наблюдается в нашем выражении, значит, такой вид разложения подходит.

4. 4

   Сравним коэффициенты и решим систему. Сопоставляя с $1,-2,3,-2,1$:

   $a+b=-2,\qquad ab+2=3\ \Rightarrow\ ab=1.$

   Пара с суммой $-2$ и произведением $1$ — это $a=b=-1$ (дискриминант $4-4=0$, корни совпадают), значит, оба множителя одинаковы:

   $x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

5. 5

   Запишем тождество и проверим. Таким образом,

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}-4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

   Множитель $x^{2}-xy+y^{2}$ положителен при всех действительных $(x,y)\ne(0,0)$, так что всё выражение — полный квадрат и неотрицательно. Проверка на $(x,y)=(2.4,1.1)$: обе части дают $18.7489$ ✓, и ещё три случайные пары совпадают до девяти знаков.