Можно ли разложить 2x² – 4x + 1 на множители? Если да, разложите.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала уточним: над каким полем требуется разложение? Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ разлагается на множители с целыми коэффициентами только тогда, когда его дискриминант — полный квадрат. Над вещественными числами разложение возможно при неотрицательном дискриминанте. Поэтому сначала вычислим $\Delta$, прежде чем подбирать пары множителей.

2. 2

   Вычислим дискриминант. При $a=2$, $b=-4$, $c=1$ имеем: $\Delta = b^2-4ac = 16-8 = 8.$ Так как $8>0$, существуют два различных вещественных корня, значит, разложение над вещественными возможно. Однако $8$ — не полный квадрат, поэтому разложение с целыми или рациональными коэффициентами невозможно. Попытки вида $(2x\pm1)(x\pm1)$ заранее обречены на неудачу.

3. 3

   Найдём корни по формуле корней квадратного уравнения. $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2},$ то есть $x \approx 1{,}7071$ и $x \approx 0{,}2929$.

4. 4

   Запишем разложение через корни. Так как старший коэффициент равен $2$, его оставляем перед скобками: $2x^2-4x+1 = 2\left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right).$

5. 5

   Приведём к более компактному виду через выделение полного квадрата. $2x^2-4x+1 = 2(x^2-2x)+1 = 2\big[(x-1)^2-1\big]+1 = 2(x-1)^2-1$. Теперь это разность квадратов: $\big(\sqrt2(x-1)\big)^2-1^2$, значит, $2x^2-4x+1 = \left(\sqrt2(x-1)-1\right)\left(\sqrt2(x-1)+1\right).$

6. 6

   Проверим раскрытием скобок. $\left(\sqrt2(x-1)\right)^2-1 = 2(x-1)^2-1 = 2x^2-4x+2-1 = 2x^2-4x+1$. Всё верно. Также множители можно записать как $(\sqrt2 x-\sqrt2-1)(\sqrt2 x-\sqrt2+1)$.