Разложить x²(x − y) + (y − x) на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Отмечается почти совпадение скобок. В выражении присутствуют $(x-y)$ и $(y-x)$ — это не одно и то же, а противоположные выражения. Такая ситуация часто встречается при разложении по группировке, и исправляется простым изменением знака, а не раскрытием скобок.

2. 2

   Меняется знак во второй скобке. Так как

   $y-x=-(x-y)$

   выражение переписывается как

   $x^2(x-y)-(x-y)$

   Теперь оба слагаемых содержат одинаковый множитель $(x-y)$.

3. 3

   Выносится общий множитель за скобку. Второе слагаемое удобно записать как $1\cdot(x-y)$, чтобы явно увидеть коэффициент:

   $x^2(x-y)-1(x-y)=(x-y)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   Распознаётся разность квадратов. $x^2-1=x^2-1^2$, поэтому по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   Оставлять ответ в виде $(x-y)(x^2-1)$ — это не полное разложение.

5. 5

   Записывается окончательное разложение.

   $x^2(x-y)+(y-x)=(x-y)(x-1)(x+1)$

   Получены три линейных множителя, значит, выражение обращается в ноль при $x=y$, $x=1$ или $x=-1$.

6. 6

   Проводится проверка численно и раскрытием скобок. При подстановке $60$ случайных пар $(x,y)$ из $[-4,4]$ значения исходного и разложенного выражения совпадают с машинной точностью ✓. Пример: при $x=3$, $y=1$ исходное выражение $9(2)+(1-3)=18-2=16$, разложенное — $(2)(2)(4)=16$ ✓.