Объём прямоугольной призмы равен x³ − 3x² + 5x − 3, а площадь её основания равна x² − 2. Объём есть произведение площади основания на высоту — чему равна высота призмы?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём геометрическое соотношение в деление. Из $V=A\cdot h$ получаем

   $h=\frac{V}{A}=\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x^2-2}$

   Делитель — квадратный трёхчлен, поэтому схема Горнера здесь не применима: нужно полноценное деление многочленов уголком.

2. 2

   Первый шаг деления: сравниваем старшие члены. $x^3\div x^2=x$, значит первый член частного равен $x$. Умножаем и вычитаем:

   $x(x^2-2)=x^3-2x$
   $(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$

3. 3

   Второй шаг деления. $-3x^2\div x^2=-3$, поэтому следующий член частного равен $-3$. Умножаем и вычитаем:

   $-3(x^2-2)=-3x^2+6$
   $(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$

   Остаток $7x-9$ имеет степень $1$, что ниже степени делителя $2$, поэтому деление на этом останавливается.

4. 4

   Запишем высоту как частное плюс остаток, делённый на делитель.

   $h=x-3+\frac{7x-9}{x^2-2}$

   Остаток не равен нулевому многочлену, поэтому высота — рациональное выражение, а не многочлен: числа в этой задаче просто не делятся нацело.

5. 5

   Проверим обратным умножением. Произведение $A\cdot h$ должно вернуть $V$:

   $(x^2-2)(x-3)+(7x-9)=x^3-3x^2-2x+6+7x-9=x^3-3x^2+5x-3\ \checkmark$

   При $x=5$ обе части дают $72$, что подтверждает тождество и численно.

6. 6

   Выборочно проверим высоту в удобной точке. При $x=2$: $V=8-12+10-3=3$ и $A=4-2=2$, значит истинная высота равна $\tfrac32$. Формула даёт

   $(2-3)+\frac{14-9}{4-2}=-1+2.5=1.5\ \checkmark$