Разложить x⁵ + y⁵ на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, можно ли вообще разложить сумму степеней. Суммы степеней раскладываются только при нечётном показателе степени. Причина — в корне: если подставить $x=-y$, получаем $x^{5}+y^{5}=-y^{5}+y^{5}=0$, значит, по теореме о корне, $(x+y)$ обязательно делит выражение. Для чётной степени такая подстановка даёт $2y^{4}\neq0$, поэтому $x^{4}+y^{4}$ не имеет такого множителя.

2. 2

   Применим формулу суммы нечётных степеней. Для нечётного $n$:

   $x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-\cdots+y^{n-1}\right)$

   Знаки во втором множителе чередуются, начиная с плюса и — поскольку $n-1$ чётно, а число слагаемых $n$ нечётно — заканчивая плюсом.

3. 3

   Запишем частный случай при $n=5$. Второй множитель содержит $5$ слагаемых, в каждом общая степень $4$:

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

4. 4

   Проверим раскрытием скобок. При перемножении $x$ даёт $x^{5}-x^{4}y+x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}+xy^{4}$, а $y$ — $x^{4}y-x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-xy^{4}+y^{5}$. Все внутренние члены взаимно уничтожаются, остаётся $x^{5}+y^{5}$ — именно чередование знаков обеспечивает это «телескопирование». Формула проверена на всех $289$ целых парах $-8\le x,y\le8$ ✓.

5. 5

   Убедимся, что множитель четвёртой степени неприводим над целыми. Если рассматривать его как квадратный трёхчлен по $x^{2}$, рациональных корней не находится, а при любых вещественных $x,y$, не равных одновременно нулю, выражение остаётся положительным (например, при $x=y=1$ получаем $1-1+1-1+1=1$). Значит, разложение на два множителя завершено. Проверка: $x=2, y=1$: $32+1=33$, $(3)(16-8+4-2+1)=3\cdot11=33$ ✓.