Решить 285a + 315b + 590c = 21,806. Есть ли у уравнения целые решения и как выглядит множество действительных решений?

Step-by-step solution

1. 1

   Находим НОД коэффициентов. Имеем $\gcd(285, 315) = 15$ и $\gcd(15, 590) = 5$, поэтому

   $\gcd(285, 315, 590) = 5$

   Каждое слагаемое слева кратно $5$, значит при любых целых $a, b, c$ вся левая часть кратна $5$.

2. 2

   Применяем признак делимости к правой части. Линейное диофантово уравнение $\sum k_i x_i = N$ имеет целые решения тогда и только тогда, когда $\gcd(k_1,\dots,k_n)$ делит $N$. Здесь

   $21{,}806 = 5 \times 4361 + 1$

   то есть $21{,}806 \equiv 1 \pmod 5$, и условие на НОД не выполняется.

3. 3

   Делаем вывод: целых решений нет. Левая часть $\equiv 0 \pmod 5$, а правая $\equiv 1 \pmod 5$, поэтому никакой набор целых чисел уравнению не удовлетворяет. Заметим, что «разделить всё на 5» здесь нельзя: $\tfrac{21806}{5} = 4361.2$ — не целое, так что запись $57a + 63b + 118c = 4361$ незаметно подменяет задачу.

4. 4

   Описываем вместо этого множество действительных решений. Над $\mathbb{R}$ имеется одно уравнение с тремя неизвестными, поэтому решения образуют плоскость в $\mathbb{R}^3$. Выразив $a$, получаем параметризацию

   $a = \frac{21806 - 315b - 590c}{285}, \qquad b, c \in \mathbb{R}$

   два свободных параметра — ровно столько, сколько и должно быть у плоскости.

5. 5

   Проверяем на контрольных точках. При $b = c = 0$ получаем $a = \tfrac{21806}{285} = 76.5123$, и $285 \times 76.5123 = 21806.0$. При $b = 10$, $c = 5$: $a = \tfrac{21806 - 3150 - 2950}{285} = \tfrac{15706}{285} = 55.1088$, и $285(55.1088) + 3150 + 2950 = 21806.0$. Ни то, ни другое значение $a$ не целое, что согласуется с препятствием по модулю 5.

6. 6

   Когда целые решения существовали бы? Если бы справа стояло $21{,}805$ или $21{,}810$ — любое число, кратное $5$, — признак по НОД выполнился бы и целые решения нашлись бы; например, $285(1) + 315(0) + 590(36) = 21{,}525$ показывает, как близко подходит решётка. Исключает их именно конкретное значение $21{,}806$.