Раскройте скобки и упростите (p-1)(q-1)+1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскрывается произведение, затем прибавляется отдельная единица. В выражении $+1$ находится вне скобок, поэтому его нельзя учитывать до завершения умножения. Согласно порядку действий, сначала выполняется произведение, затем сложение.

2. 2

   Выполним умножение двух двучленов. Каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй — всего четыре произведения:

   $(p-1)(q-1)=p\cdot q+p\cdot(-1)+(-1)\cdot q+(-1)(-1)=pq-p-q+1$

   Последний $+1$ появляется как результат $(-1)(-1)$; произведение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

3. 3

   Обратим внимание, что подобные слагаемые не появляются. $p$ и $q$ — разные переменные, поэтому $-p$ и $-q$ нельзя объединить ни в $-2p$, ни в $-pq$. После раскрытия скобок остаётся четыре различных слагаемых.

4. 4

   Прибавим внешнюю единицу.

   $pq-p-q+1+1=pq-p-q+2$

   Две константы складываются, а не сокращаются, что и составляет основную тонкость задачи.

5. 5

   Проверим результат на случайных подстановках. При сравнении исходного выражения и $pq-p-q+2$ на $50$ случайных парах $(p,q)$ из диапазона $[-8,8]$ значения совпадают с машинной точностью. Пример: при $p=4, q=7$ имеем $(3)(6)+1=19$ и $28-4-7+2=19$ — совпадает.