Разложить 18abc² − 12a²b²c на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим НОД коэффициентов. $18=2\cdot 3^2$, $12=2^2\cdot 3$, поэтому их наибольший общий делитель — $2\cdot 3=6$. Если взять только $2$ или только $3$, в скобках останется выражение, которое ещё можно разложить, значит, разложение не будет полным.

2. 2

   Берём наименьшую степень каждой переменной, встречающейся в обоих одночленах. Сравниваем показатели: $a^1$ и $a^2$ — берём $a$; $b^1$ и $b^2$ — берём $b$; $c^2$ и $c^1$ — берём $c$. Всегда выбирается минимальная степень, поэтому переменная часть НОД — $abc$.

3. 3

   Собираем полный НОД.

   $\gcd=6abc$

   Здесь каждая переменная встречается в обоих одночленах, поэтому ни одна не выпадает.

4. 4

   Делим каждый одночлен на $6abc$.

   $\frac{18abc^2}{6abc}=3c,\qquad \frac{12a^2b^2c}{6abc}=2ab$

   В скобках получаем $3c-2ab$, знак минус сохраняется.

5. 5

   Записываем разложение и проверяем раскрытием скобок.

   $18abc^2-12a^2b^2c=6abc(3c-2ab)$

   Проверяем: $6abc\cdot 3c=18abc^2$, $6abc\cdot 2ab=12a^2b^2c$ ✓. Для $a=b=c=2$: исходное выражение $18\cdot 16-12\cdot 32=288-384=-96$, а $6\cdot 8(6-8)=48(-2)=-96$ ✓. В скобках $3c-2ab$ нет общего множителя, значит, разложение полное.