Решите двойное неравенство 8 < 60(1 + x)/7 < 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проанализируем условие. Трёхчастное неравенство $L<E<R$ требует, чтобы выражение $E$ было одновременно больше $L$ и меньше $R$. В данном случае $L=8$, $R=7$, то есть требуется число, которое больше $8$ и меньше $7$ одновременно. Поскольку $8>7$, такого числа не существует — ответ уже виден из условия.

2. 2

   Проверим это с помощью алгебры. Умножим все три части на $7$ (множитель положительный, знаки неравенств сохраняются):

   $56<60(1+x)<49$

   Обратные границы сохраняются, как и должно быть — никакие допустимые преобразования не могут исправить противоречие.

3. 3

   Разделим все три части на 60. Здесь $60>0$:

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{49}{60},\qquad\text{т.е.}\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{49}{60}$

4. 4

   Вычтем 1 из всех трёх частей.

   $\frac{14}{15}-1<x<\frac{49}{60}-1\qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{15}<x<-\frac{11}{60}$

5. 5

   Сравним границы, приведя к общему знаменателю. Запишем $-\tfrac{1}{15}=-\tfrac{4}{60}$, тогда условие принимает вид

   $-\frac{4}{60}<x<-\frac{11}{60}$

   Но $-\tfrac{4}{60}>-\tfrac{11}{60}$, то есть нижняя граница больше верхней. Промежуток пуст.

6. 6

   Делаем вывод. Множество решений — $\varnothing$: ни одно действительное число не удовлетворяет неравенству. Если проверить $200{,}001$ значений $x$ от $-100$ до $100$, не найдётся ни одного, при котором $\frac{60(1+x)}{7}$ было бы и больше $8$, и меньше $7$ ✓. Для сравнения: корректно поставленное неравенство $8<\frac{60(1+x)}{7}<9$ имеет решение $-\tfrac{1}{15}<x<\tfrac{1}{20}$ — это действительно непустой промежуток.