Решите цепное неравенство −4 ≤ 3x − 1 ≤ 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассматривается единое цепное неравенство, а не две отдельные задачи. $-4\le3x-1\le8$ означает одновременно $-4\le3x-1$ и $3x-1\le8$. Поскольку переменная содержится только в средней части, все преобразования можно выполнять сразу для всех трёх частей — каждое действие применяется ко всем частям одновременно.

2. 2

   Ко всем трём частям прибавим 1. Прибавление одного и того же числа к каждой части сохраняет направление неравенств:

   $-4+1\le3x-1+1\le8+1\qquad\Longrightarrow\qquad-3\le3x\le9$

3. 3

   Разделим все три части на 3. Делитель положительный, поэтому знаки $\le$ не меняются. (Если бы делили на $-3$, оба знака неравенства поменялись бы на противоположные, и цепочка переписывалась бы в обратном порядке.)

   $\frac{-3}{3}\le\frac{3x}{3}\le\frac{9}{3}\qquad\Longrightarrow\qquad-1\le x\le3$

4. 4

   Запишем ответ с замкнутыми границами. В интервальной записи $[-1,3]$. Оба конца включаются, так как исходные неравенства были нестрогими; форма скобок фиксирует этот факт, а не является формальностью.

5. 5

   Проверим границы и одну внутреннюю точку. При $x=-1$: $3(-1)-1=-4$, и $-4\le-4$ ✓ (левая граница достигается). При $x=3$: $3(3)-1=8$, и $8\le8$ ✓ (правая граница достигается). При $x=0$: $-1$, что явно внутри ✓. Вне интервала, $x=4$ даёт $11>8$ ✗. Проверка исходной цепочки на $[-1,3]$ по $110$ рациональным точкам подтверждает решение ✓.