Упростите √(x³) по правилу произведения. Переменные — неотрицательные действительные числа.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что значит «упростить» корень. Корень считается упрощённым, если под знаком корня не осталось множителей — полных квадратов. Показатель степени $3$ нечётный, поэтому полностью вынести $x$ нельзя — но можно вынести наибольшую чётную часть. Вся стратегия состоит в том, чтобы выделить наибольший полный квадрат в $x^{3}$.

2. 2

   Представим подкоренное выражение как произведение полного квадрата и остатка. Так как $3=2+1$,

   $x^{3}=x^{2}\cdot x\qquad\Longrightarrow\qquad \sqrt{x^{3}}=\sqrt{x^{2}\cdot x}$

3. 3

   Применим правило произведения для корней. Для неотрицательных $a$ и $b$ выполняется:

   $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

   Значит,

   $\sqrt{x^{2}\cdot x}=\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{x}$

   Условие неотрицательности переменных в задаче как раз и позволяет сделать такое разложение.

4. 4

   Упростим полный квадрат под корнем. В общем случае $\sqrt{x^{2}}=|x|$, но по условию $x\geq 0$, поэтому модуль не нужен:

   $\sqrt{x^{2}}=x$

   Следовательно,

   $\sqrt{x^{3}}=x\sqrt{x}$

5. 5

   Проверим, что результат полностью упрощён, и подставим значения. Под корнем осталась только $x$ в первой степени — полного квадрата уже нет, задача решена. Проверим на числах: при $x=9$ исходное выражение $\sqrt{729}=27$, а упрощённое $9\sqrt{9}=9\cdot 3=27$; при $x=2$ обе формы дают $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284$.