При каких значениях x дробь (2 − 3x)/(x(x − 1)) положительна?

Step-by-step solution

1. 1

   Находим все точки, где знак может измениться. Это нули числителя и нули знаменателя:

   $2-3x=0\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad x=0;\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   Они разбивают прямую на четыре промежутка: $(-\infty,0)$, $\left(0,\tfrac23\right)$, $\left(\tfrac23,1\right)$ и $(1,\infty)$.

2. 2

   Проверяем промежуток x < 0 (возьмём $x=-1$). Числитель $2-3(-1)=5>0$; знаменатель $(-1)(-2)=2>0$ (минус на минус). Дробь положительна ✓.

3. 3

   Проверяем 0 < x < 2/3 (возьмём $x=0.5$). Числитель $2-1.5=0.5>0$; знаменатель $(0.5)(-0.5)=-0.25<0$. Дробь отрицательна ✗.

4. 4

   Проверяем 2/3 < x < 1 (возьмём $x=0.8$). Числитель $2-2.4=-0.4<0$; знаменатель $(0.8)(-0.2)=-0.16<0$. Отрицательное на отрицательное даёт положительное ✓.

5. 5

   Проверяем x > 1 (возьмём $x=2$). Числитель $2-6=-4<0$; знаменатель $(2)(1)=2>0$. Дробь отрицательна ✗.

6. 6

   Собираем промежутки, где дробь положительна. Все три критические точки исключаются: при $x=\tfrac23$ дробь равна нулю (а не положительна), а при $x=0$ и $x=1$ она не определена:

   $\boxed{\{x<0\}\cup\left\{\tfrac23<x<1\right\}}$

7. 7

   Перепроверяем правилом чередования знаков. Все три множителя простые (нечётной кратности), поэтому знак обязан меняться в каждой критической точке. Слева направо получается картина $+,-,+,-$ — ровно то, что дали четыре пробные точки, а значит ни один промежуток не помечен неверно.