Если a > 0, b > 0 и 2a + b = 1, найти наименьшее значение выражения a/(2 − 2a) + b/(2 − b).

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём задачу к одной переменной и определим область допустимых значений. Ограничение даёт $b=1-2a$, а условия $a>0,\ b>0$ приводят к неравенству

   $0<a<\tfrac12$

   На этом интервале $2-2a\in(1,2)$ и $2-b=1+2a\in(1,2)$, то есть оба знаменателя положительны, а функция $T$ непрерывна. Подставляя выражение для $b$, получаем

   $T(a)=\frac{a}{2(1-a)}+\frac{1-2a}{1+2a}$

2. 2

   Найдём производные каждого слагаемого по отдельности. Для первого слагаемого по правилу дроби числитель равен $1\cdot 2(1-a)-a\cdot(-2)=2$, значит

   $\frac{d}{da}\left[\frac{a}{2(1-a)}\right]=\frac{2}{4(1-a)^2}=\frac{1}{2(1-a)^2}$

   Для второго слагаемого числитель $(-2)(1+2a)-(1-2a)(2)=-4$, поэтому

   $\frac{d}{da}\left[\frac{1-2a}{1+2a}\right]=\frac{-4}{(1+2a)^2}$

   Первое слагаемое возрастает, второе убывает, что и обеспечивает наличие внутреннего минимума.

3. 3

   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.

   $\frac{1}{2(1-a)^2}=\frac{4}{(1+2a)^2}\quad\Longrightarrow\quad (1+2a)^2=8(1-a)^2$

   На интервале $0<a<\frac12$ оба выражения $1+2a$ и $1-a$ положительны, поэтому берём положительные корни:

   $1+2a=2\sqrt{2}\,(1-a)\quad\Longrightarrow\quad a\left(2+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$

   $a=\frac{2\sqrt{2}-1}{2+2\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{2}\approx 0.378680$

   (на последнем шаге числитель и знаменатель домножаются на $\sqrt{2}-1$, используя $(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=1$). Тогда $b=1-2a=3\sqrt{2}-4\approx 0.242641>0$, то есть критическая точка допустима.

4. 4

   Вычислим каждое слагаемое в точности. При $1-a=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$ имеем

   $\frac{a}{2-2a}=\frac{5-3\sqrt{2}}{6(\sqrt{2}-1)}=\frac{(5-3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{6}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$

   а при $2-b=6-3\sqrt{2}$

   $\frac{b}{2-b}=\frac{3\sqrt{2}-4}{3(2-\sqrt{2})}=\frac{(3\sqrt{2}-4)(2+\sqrt{2})}{6}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

5. 5

   Сложим найденные значения и убедимся, что это минимум.

   $T_{\min}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}+\frac{2\sqrt{2}-2}{6}=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.442809$

   Проверим значения на концах интервала: при $a\to 0^{+}$, $T\to 1$; при $a\to\tfrac12^{-}$, $T\to\tfrac12$. Оба значения больше $0.4428$, значит, найденный внутренний экстремум — глобальный минимум.

6. 6

   Обратим внимание на два типичных неверных ответа. Подстановка симметричного $a=b=\frac13$ даёт $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}=0.45$, что близко, но не минимально — равенство $a=b$ не учитывает весовые коэффициенты в ограничении. А значение $\frac15=0.2$ вообще недостижимо, так как на всём промежутке $0<a<\frac12$ величина $T$ не опускается ниже $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.4428$. Точное минимальное значение — $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$.