Решите неравенство (x − 1) / ((x − 3)(x − 2)) ≤ 0 и запишите ответ в виде промежутков.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим критические точки, общий знаменатель не требуется. Дробь уже записана в виде одной факторизованной дроби, поэтому знак выражения может измениться только там, где обращается в ноль один из множителей: числитель равен нулю при $x = 1$, знаменатель — при $x = 2$ и $x = 3$. Умножать обе части на $(x-3)(x-2)$ нельзя — знак этого выражения неизвестен, поэтому направление неравенства может измениться неверно.

2. 2

   Разбиваем числовую прямую на четыре интервала. Три критические точки делят $\mathbb{R}$ на промежутки $(-\infty,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$ и $(3,\infty)$. На каждом из них все три множителя сохраняют постоянный знак, значит, и вся дробь тоже — достаточно проверить по одной точке в каждом промежутке.

3. 3

   Проверяем по одной точке в каждом промежутке.

   промежуток	пробное $x$	значение	знак
   $(-\infty,1)$	$0$	$\tfrac{-1}{(-3)(-2)} = -\tfrac16$	отрицательный
   $(1,2)$	$1.5$	$\tfrac{0.5}{(-1.5)(-0.5)} = +\tfrac23$	положительный
   $(2,3)$	$2.5$	$\tfrac{1.5}{(-0.5)(0.5)} = -6$	отрицательный
   $(3,\infty)$	$3.5$	$\tfrac{2.5}{(0.5)(1.5)} = +\tfrac{10}{3}$	положительный

4. 4

   Отдельно рассматриваем каждую критическую точку. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя допустимы: при $x = 1$ значение дроби равно $0$, что удовлетворяет $\le 0$, значит, $x=1$ включается в ответ. Нули знаменателя всегда исключаются — при $x = 2$ и $x = 3$ выражение не определено, поэтому эти точки исключаются независимо от вида неравенства.

5. 5

   Собираем ответ. Объединяем промежутки, где выражение отрицательно, и добавляем замкнутую точку:

   $(-\infty,\,1] \;\cup\; (2,\,3)$

6. 6

   Проверяем типичные ошибки. Символьный калькулятор даёт именно $(-\infty,1] \cup (2,3)$ ✓. Вариант $[1,2) \cup [3,\infty)$ берёт положительные промежутки и ошибочно включает полюс; $[1,2] \cup (3,\infty)$ включает $x=2$, где выражение не определено.