Решить уравнение: корень из (4x² − 8x + 4) равен 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем множитель и разложим подкоренное выражение на полный квадрат. $4x^2-8x+4 = 4\left(x^2-2x+1\right) = 4(x-1)^2.$ Узнаётся полный квадрат, что позволяет свести задачу к уравнению с модулем.

2. 2

   Упростим корень, учитывая модуль. $\sqrt{4(x-1)^2} = 2\left|x-1\right|$ — здесь важно использовать модуль, так как $\sqrt{t^2}=|t|$, а не $t$. Получаем уравнение $2|x-1| = 5.$

3. 3

   Выразим модуль. $|x-1| = \frac52.$

4. 4

   Рассмотрим оба случая для модуля. $x-1 = \frac52 \quad\text{или}\quad x-1 = -\frac52,$ откуда $x = \frac72 \quad\text{или}\quad x = -\frac32.$

5. 5

   Проверим оба найденных значения. При $x=\tfrac72$: $4(12.25)-8(3.5)+4 = 49-28+4 = 25$, $\sqrt{25}=5$. При $x=-\tfrac32$: $4(2.25)+12+4 = 9+12+4 = 25$, $\sqrt{25}=5$. Оба значения подходят.

6. 6

   Поясним, почему нельзя было опустить модуль. Если бы записали $\sqrt{4(x-1)^2} = 2(x-1)$, получили бы только $x=\tfrac72$ и потеряли бы отрицательное решение.