Упростить (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x + 1)³.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала сгруппируем одинаковые слагаемые. Первый и последний члены — это подобные слагаемые по $(x+1)^3$:

   $(x+1)^3+2(x+1)^3=3(x+1)^3$

   Таким образом, выражение принимает вид:

   $3(x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2$

   Такое объединение позволяет избежать лишних вычислений при раскрытии скобок.

2. 2

   Вынесем общий множитель $(x+1)$. Во всех слагаемых присутствует хотя бы одна такая скобка:

   $(x+1)\Big[3(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2\Big]$

3. 3

   Раскроем скобки только внутри квадратных скобок. Известно, что $(x+1)^2=x^2+2x+1$, $(x+1)(x-1)=x^2-1$, $(x-1)^2=x^2-2x+1$:

   $3\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=3x^2+6x+3-2x^2+2-x^2+2x-1$

   Слагаемые с $x^2$ дают $3-2-1=0$, значит, в скобках остаётся только линейное выражение:

   $8x+4$

4. 4

   Выполним умножение и разложим на множители:

   $(x+1)(8x+4)=8x^2+12x+4=4\left(2x^2+3x+1\right)=4(x+1)(2x+1)$

   Здесь важно, что кубические члены полностью сократились — сумма произведений третьей степени свелась к квадратному выражению.

5. 5

   Проверим результат на двух значениях. При $x=0$: исходное выражение равно $1-2(1)(-1)-1(1)+2=1+2-1+2=4$, а $4(1)(1)=4\;\checkmark$. При $x=2$: исходное выражение $27-2(9)(1)-3(1)+54=27-18-3+54=60$, а $4(3)(5)=60\;\checkmark$.