Разложите или упростите a⁴ + a³ + a² + a + 1 и укажите, разлагается ли он над рациональными и над действительными.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём геометрическую прогрессию. Пять слагаемых — это последовательные степени $a^0$ до $a^4$ с знаменателем $a$, поэтому применима формула суммы конечной геометрической прогрессии:

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\frac{a^5-1}{a-1},\qquad a\neq1$

   Иначе говоря, умножение выражения на $(a-1)$ приводит к телескопической разности $a^5-1$. При $a=1$ значение равно просто $5$.

2. 2

   Исключаем рациональные множители. По теореме о рациональных корнях возможные рациональные корни должны делить свободный член $1$, то есть подходят только $a=\pm1$: $p(1)=5$, $p(-1)=1-1+1-1+1=1$ — ни один не обращает многочлен в ноль. Этот многочлен — пятый циклотомический $\Phi_5$, и он действительно неразложим над рациональными: его корни — четыре примитивных пятых корня из единицы.

3. 3

   Это не всё: над действительными разложение есть. Часто ошибочно считают, что «неразложим» — это окончательный ответ. Любой вещественный многочлен четвёртой степени разлагается на два квадратных множителя с действительными коэффициентами, и здесь разложение можно записать явно. Разделим выражение на $a^2$ (при $a\neq0$) и сгруппируем симметрично:

   $a^2+a+1+\frac1a+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a+\frac1a\right)+1$

4. 4

   Вводим замену $t = a + 1/a$. Поскольку $a^2+\frac{1}{a^2}=t^2-2$, получаем

   $t^2-2+t+1=t^2+t-1$

   Корни этого квадратного трёхчлена: $t=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$ — сопряжённые золотого сечения. Каждое значение $t$ соответствует квадратному уравнению $a^2-ta+1=0$.

5. 5

   Записываем разложение на действительные множители.

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\left(a^2+\frac{1+\sqrt5}{2}a+1\right)\left(a^2+\frac{1-\sqrt5}{2}a+1\right)$

   Оба множителя неразложимы над действительными: их дискриминанты $t^2-4$ при $t\approx0{,}618$ и $t\approx-1{,}618$ дают $-3{,}618$ и $-1{,}382$ — оба отрицательны.

6. 6

   Фиксируем следствие и проверяем. Так как оба квадратных множителя всегда положительны, исходный многочлен положителен при любом действительном $a$ — минимум на $[-8,8]$ около $0{,}6736$, нуля не достигает. Численно исходное выражение и произведение квадратных множителей совпадают в $80$ случайных точках $a$ из $[-4,4]$ с машинной точностью ✓, а форма через сумму геометрической прогрессии совпадает при $a=1{,}3,\,2{,}7,\,-0{,}4,\,-3{,}1$ ✓.