Упростите выражение 5(x − 3)(x² + 4x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается порядок действий для удобства вычислений. Перемножение ассоциативно, поэтому сначала удобно раскрыть скобки $(x-3)(x^2+4x+1)$, а множитель $5$ оставить напоследок. Если умножать на $5$ сразу, придётся носить $5x$ и $-15$ через все промежуточные вычисления.

2. 2

   Раскроем скобки, умножая $x$ на трёхчлен.

   $x(x^{2}+4x+1)=x^{3}+4x^{2}+x$

3. 3

   Далее умножим $-3$ на трёхчлен. Следим за знаками:

   $-3(x^{2}+4x+1)=-3x^{2}-12x-3$

4. 4

   Сложим полученные многочлены.

   $x^{3}+(4x^{2}-3x^{2})+(x-12x)-3=x^{3}+x^{2}-11x-3$

5. 5

   Умножим результат на $5$. Этот шаг часто упускают:

   $5\left(x^{3}+x^{2}-11x-3\right)=5x^{3}+5x^{2}-55x-15$

   $\boxed{5x^{3}+5x^{2}-55x-15}$

6. 6

   Проверим подстановкой и обратим внимание на варианты ответов. При $x=1$ исходное выражение даёт $5(-2)(6)=-60$, а раскрытое — $5+5-55-15=-60$. ✓ Замечено, что часто встречающийся вариант $5x^3+x^2-11x-3$ — это результат до умножения на $5$, а другие предложенные ответы тоже не совпадают. Поэтому в тесте с вариантами правильный ответ — «ни один из предложенных».