Упростить (седьмой корень из x²)/(½y) × (кубический корень из x²)/(кубический корень из y²) × x/(кубический корень из y) × ((9/7)·корень из (y/3))/(5/x).

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем все радикалы в дробные степени. По формуле $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$: $\sqrt[7]{x^2}=x^{2/7}$, $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$, $\sqrt[3]{y^2}=y^{2/3}$, $\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$, а $\sqrt{\tfrac y3}=\tfrac{y^{1/2}}{\sqrt3}$. Представление в виде степеней — единственный удобный способ объединить корни разных порядков.

2. 2

   Избавимся от дробных коэффициентов в знаменателях. Деление на $\tfrac12 y$ эквивалентно умножению на $\tfrac{2}{y}$, а деление на $\tfrac5x$ — умножению на $\tfrac x5$: $\frac{2x^{2/7}}{y}\times\frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\times\frac{x}{y^{1/3}}\times\frac{9x}{35}\cdot\frac{y^{1/2}}{\sqrt3}.$ Обратите внимание: в четвёртом множителе появляется дополнительный $x$, что легко упустить.

3. 3

   Соберём числовые коэффициенты. $2\times\tfrac{9}{35} = \tfrac{18}{35}$, а $\tfrac{1}{\sqrt3}$ пока оставим: общий коэффициент $\dfrac{18}{35\sqrt3}$.

4. 4

   Сложим показатели степени при $x$. Имеются $x^{2/7}$, $x^{2/3}$, $x^1$ (третий множитель) и ещё $x^1$ (из четвёртого): $\frac27+\frac23+1+1 = \frac{6}{21}+\frac{14}{21}+\frac{42}{21} = \frac{62}{21}.$

5. 5

   Сложим показатели степени при $y$. В числителе есть $y^{1/2}$; в знаменателе — $y^{1}\cdot y^{2/3}\cdot y^{1/3} = y^{2}$. Получаем $y^{1/2-2} = y^{-3/2} = \frac{1}{y^{3/2}}.$

6. 6

   Рационализируем и сокращаем коэффициент. $\dfrac{18}{35\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{105} = \dfrac{6\sqrt3}{35}$, значит $\text{выражение} = \frac{6\sqrt3\,x^{62/21}}{35\,y^{3/2}}.$

7. 7

   Проверим численно. При $x=2$, $y=3$ исходное выражение даёт $0.44230024$, а $\dfrac{6\sqrt3\cdot 2^{62/21}}{35\cdot 3^{3/2}} = 0.44230024$ — совпадает до восьмого знака.