Решить уравнение log10(log10(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511 log10(284 + 273.15) относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала сворачиваем правую часть в одно число. В ней нет $x$, значит это чистая арифметика. Начнём изнутри логарифма:

   $284+273.15=557.15$

   (прибавление $273.15$ к температуре в градусах Цельсия выдаёт формулу давления насыщенного пара типа уравнения Антуана).

2. 2

   Вычисляем числовое значение правой части.

   $\log_{10}(557.15)=2.7459721,\qquad3.2511\times2.7459721=8.9274300$

   откуда

   $8.8289-8.9274300=-0.0985300$

   Результат отрицательный, и это нормально: перед нами логарифм числа между $0$ и $1$, а не противоречие.

3. 3

   Снимаем внешний логарифм. Возведём $10$ в степень каждой части:

   $\log_{10}(x+0.6)=10^{-0.0985300}=0.7970214$

   Потенцирование превращает отрицательное значение в положительное, меньшее $1$ ✓.

4. 4

   Снимаем внутренний логарифм. Потенцируем ещё раз:

   $x+0.6=10^{0.7970214}=6.2664474$

5. 5

   Находим $x$ и проверяем область определения.

   $x=6.2664474-0.6=5.6664474\approx5.666$

   Оба логарифма при этом значении допустимы: $x+0.6=6.266>0$ и $\log_{10}(6.266)=0.797>0$, то есть у внешнего логарифма положительный аргумент ✓. Вложенному логарифму нужны оба условия — и здесь они выполнены.

6. 6

   Проверяем обратной подстановкой. Вычисление $\log_{10}\left(\log_{10}(5.6664474+0.6)\right)$ даёт $-0.0985300$, что совпадает с правой частью с точностью до $10^{-7}$ ✓. Поскольку внешняя операция $10^{u}$ усиливает погрешность, важно вести промежуточные вычисления хотя бы с семью значащими цифрами: слишком раннее округление до $-0.0985$ сдвигает $x$ уже в третьем знаке.