Решить уравнение x(75 − 2x − 1) = 690.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упрощаем содержимое скобки. Сложим числа до раскрытия скобок — от этого зависит, получится ли аккуратное квадратное уравнение или обидная описка:

   $75-2x-1=74-2x\qquad\Longrightarrow\qquad x(74-2x)=690$

   Такой вид типичен для задачи на периметр и площадь: одна сторона равна $x$, другая $74-2x$, а требуемое произведение — $690$.

2. 2

   Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть.

   $74x-2x^2=690\qquad\Longrightarrow\qquad -2x^2+74x-690=0$

3. 3

   Приводим уравнение к обычному виду. Умножим на $-1$, затем разделим на $2$:

   $2x^2-74x+690=0\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-37x+345=0$

   Оба действия допустимы для уравнения (в отличие от неравенства, где умножение на $-1$ перевернуло бы знак).

4. 4

   Считаем дискриминант. При $a=1$, $b=-37$, $c=345$:

   $\Delta=(-37)^2-4(1)(345)=1369-1380=-11$

   Дискриминант отрицателен, значит вещественных решений нет — парабола $x^2-37x+345$ никогда не достигает нуля.

5. 5

   Объясним, что это означает по существу. Максимум произведения $x(74-2x)$ достигается в середине, при $x=\tfrac{74}{4}=18.5$, и равен $18.5\times37=684.5$. Так как $684.5<690$, требуемое значение попросту недостижимо: никакое вещественное $x$ не даст произведение $690$. Нехватка в $5.5$ и закодирована в отрицательном дискриминанте.

6. 6

   Выписываем комплексные корни. Над $\mathbb{C}$:

   $x=\frac{37\pm\sqrt{-11}}{2}=\frac{37\pm i\sqrt{11}}{2}$

7. 7

   Проверяем. Перебор $20{,}001$ вещественного значения $x$ от $-100$ до $100$ не находит ни одного, при котором $x(74-2x)=690$ ✓. Подстановка комплексной пары в $x(74-2x)$ даёт $690$ с точностью до $10^{-9}$ ✓, а сумма корней равна $37=-b/a$ и произведение $345=c/a$ ✓.