Найдите частное (8x³ – 6x² – 5x + 3), делённое на (2x – 5).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем деление с немоническим делителем. Поскольку $2x-5$ начинается с $2x$, каждый член частного находится делением текущего старшего члена остатка на $2x$. В делимом присутствуют все четыре степени $x$, поэтому дополнительных нулевых членов не требуется.

2. 2

   Первый шаг. $\dfrac{8x^3}{2x}=4x^2$. Умножим обратно: $4x^2(2x-5)=8x^3-20x^2$. Вычтем: $-6x^2-(-20x^2)=14x^2$, затем перенесём вниз $-5x$, получая $14x^2-5x$.

3. 3

   Второй шаг. $\dfrac{14x^2}{2x}=7x$. Умножим обратно: $7x(2x-5)=14x^2-35x$. Вычтем: $-5x-(-35x)=30x$, затем перенесём вниз $+3$, получая $30x+3$.

4. 4

   Третий шаг. $\dfrac{30x}{2x}=15$. Умножим обратно: $15(2x-5)=30x-75$. Вычтем: $3-(-75)=78$. Получен остаток — число, деление на этом заканчивается.

5. 5

   Запишем результат. $\dfrac{8x^3-6x^2-5x+3}{2x-5}=4x^2+7x+15+\dfrac{78}{2x-5}$; остаток $78\neq 0$, значит, $2x-5$ не является делителем данного многочлена.

6. 6

   Проверим двумя способами. Перемножим обратно: $(2x-5)(4x^2+7x+15)+78=8x^3+14x^2+30x-20x^2-35x-75+78=8x^3-6x^2-5x+3$. Подставим корень делителя $x=\tfrac52$ в делимое: $8\cdot\tfrac{125}{8}-6\cdot\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{2}+3=125-37.5-12.5+3=78$, что совпадает с остатком.