Решите неравенство x² − 7x − 6 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем разложить на множители и быстро отказываемся от этой идеи. Нужны два целых числа с произведением $-6$ и суммой $-7$: пара $(1,-6)$ даёт сумму $-5$, пара $(-1,6)$ — сумму $5$, пара $(2,-3)$ — $-1$, пара $(-2,3)$ — $1$. Ничего не подходит, значит корни иррациональны и нужна формула корней.

2. 2

   Вычисляем дискриминант.

   $\Delta=(-7)^2-4(1)(-6)=49+24=73$

   Число $73$ простое, а значит свободно от квадратов, поэтому $\sqrt{73}$ не упрощается и границы будут иррациональными. Из $\Delta>0$ следует, что действительных корней два и они различны.

3. 3

   Находим корни.

   $x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$

   где $\sqrt{73}\approx 8.5440$, откуда $x_1\approx -0.7720$ и $x_2\approx 7.7720$.

4. 4

   Учитываем направление ветвей параболы. Коэффициент при $x^2$ равен $+1>0$, ветви направлены вверх, поэтому выражение положительно вне корней и отрицательно между ними:

   $x<\frac{7-\sqrt{73}}{2}\qquad\text{или}\qquad x>\frac{7+\sqrt{73}}{2}$

5. 5

   Проверяем пробными точками и решаем судьбу границ. При $x=-1$: $1+7-6=2>0$ ✓ (левая область). При $x=0$: получаем $-6$, неравенство не выполняется ✓ (средняя область исключена). При $x=8$: $64-56-6=2>0$ ✓ (правая область). В самих корнях выражение равно $0$, а неравенство строгое, поэтому ни одна граница в ответ не входит.