При каких показателях n выражение aⁿ + bⁿ раскладывается на множители и каково это разложение?

Step-by-step solution

1. 1

   Подставляем $a=-b$, чтобы понять, является ли $a+b$ множителем. По теореме Безу двучлен $(a+b)$ делит выражение ровно тогда, когда подстановка $a=-b$ обращает его в нуль:

   $(-b)^{n}+b^{n}=\begin{cases}-b^{n}+b^{n}=0,&n\text{ нечётное}\\ b^{n}+b^{n}=2b^{n}\neq0,&n\text{ чётное}\end{cases}$

   Итак, всё решает чётность $n$, и решает по одной-единственной внятной причине.

2. 2

   Записываем тождество для нечётного $n$. При нечётном $n$

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

   Чередование знаков и приводит к тому, что при раскрытии произведения все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Проверено точно для $n=3,5,7,9$ на $121$ паре целых чисел в каждом случае ✓.

3. 3

   Смотрим на малые нечётные случаи.

   $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

   $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}\right)$

   Во втором сомножителе всегда ровно $n$ слагаемых, все они имеют суммарную степень $n-1$, а знаки чередуются, начинаясь и заканчиваясь плюсом.

4. 4

   Разбираем чётный случай. При чётном $n$ разложения, годного сразу для всех таких $n$, не существует: $a^{2}+b^{2}$ неразложимо над действительными числами, а численно $2^{2}+3^{2}=13$, тогда как $(2+3)(2-3)=-5$ — значит, $a+b$ действительно множителем не является ✓.

5. 5

   Используем нечётный делитель, спрятанный внутри чётного $n$. Если $n$ чётно, но делится на нечётное число $m>1$, запишем $n=m\cdot q$ и посмотрим на выражение как на $\left(a^{q}\right)^{m}+\left(b^{q}\right)^{m}$ — оно раскладывается по правилу для нечётного показателя. При $n=6$ с $m=3$, $q=2$:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   Когда же $n$ — степень двойки ($2,4,8,\ldots$), нечётного делителя нет вовсе, и $a^{n}+b^{n}$ неразложимо над $\mathbb{Q}$; впрочем, отдельные выражения вроде $a^{4}+4b^{4}$ всё же раскладываются — по тождеству Софи Жермен.