Пусть P(x) — многочлен четвёртой степени и P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 9, P(4) = 13, P(5) = 1. Найдите сумму корней P(x).

Step-by-step solution

1. 1

   Прежде чем что-либо вычислять, поищем закономерность в данных значениях. Первые четыре значения $1,5,9,13$ растут каждый раз на $4$, то есть лежат на прямой

   $L(x)=4x-3$

   действительно, $4(1)-3=1$, $4(2)-3=5$, $4(3)-3=9$, $4(4)-3=13$. Закономерность нарушает только пятое значение: $P(5)=1$, тогда как прямая давала бы $17$.

2. 2

   Вычитаем закономерность, чтобы искусственно получить известные корни. Положим

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   Тогда $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$. Вычитание многочлена степени $1$ не может изменить старший член степени $4$, поэтому $Q$ по-прежнему многочлен четвёртой степени, а такой многочлен с четырьмя известными корнями определён однозначно с точностью до постоянного множителя:

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   Выписываем $P$ в явном виде. Возвращая вычтенное обратно,

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   Эта единственная формула уже содержит четыре из пяти условий; пятое условие определит $a$.

4. 4

   Находим $a$ из условия $P(5)=1$. Подставим $x=5$:

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   Применяем формулы Виета и замечаем, что $a$ сокращается. Для $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$ сумма корней равна $-\dfrac{B}{A}$. Раскроем только два старших члена:

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   значит, $A=a$ и $B=-10a$ (добавка $4x-3$ не влияет ни на один из этих коэффициентов). Поэтому

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   Значение $a$ сокращается. Вычисление $a=-\tfrac{2}{3}$ оказалось полезной проверкой, но для ответа хватило условия $a\neq 0$, которое гарантировано тем, что $P$ имеет степень $4$.

6. 6

   Записываем ответ. Сумма четырёх корней многочлена $P$ равна

   $\boxed{10}$

   Проверка на явном многочлене $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$: он воспроизводит все пять заданных значений, и $-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$.