Раскройте скобки и упростите [2x − (корень 2)x − 1][2x + (корень 2)x − 1].

Step-by-step solution

1. 1

   Соберём слагаемые с x в каждой скобке. Оба выражения $2x$ и $\sqrt2\,x$ содержат множитель $x$, поэтому вынесем $x$ за скобку в каждой паре:

   $\left[(2 - \sqrt2)x - 1\right]\left[(2 + \sqrt2)x - 1\right]$

   В таком виде видно, что скобки имеют одинаковую структуру, а коэффициенты при $x$ — сопряжённые: $2 - \sqrt2$ и $2 + \sqrt2$.

2. 2

   Раскроем скобки по распределительному закону. Перемножим каждое слагаемое на каждое:

   $= (2-\sqrt2)(2+\sqrt2)x^2 - (2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x + 1$

   Пока оставим два средних слагаемых раздельно — именно здесь иррациональные части сократятся.

3. 3

   Используем формулу разности квадратов для коэффициента при x². Так как $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$,

   $(2-\sqrt2)(2+\sqrt2) = 2^2 - \left(\sqrt2\right)^2 = 4 - 2 = 2$

   Значит, при $x^2$ получается $2x^2$ — рациональное число, хотя множители были иррациональны. Это и есть свойство сопряжённых.

4. 4

   Объединим два линейных слагаемых. Иррациональные части идут с противоположными знаками и сокращаются:

   $-(2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x = \left(-2 + \sqrt2 - 2 - \sqrt2\right)x = -4x$

5. 5

   Соберём итоговый ответ и проверим его.

   $\left[(2-\sqrt2)x - 1\right]\left[(2+\sqrt2)x - 1\right] = 2x^2 - 4x + 1$

   Подставим $x = 1$: слева $(1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1 - 2 = -1$, справа $2 - 4 + 1 = -1$. Корни $2x^2 - 4x + 1$ равны $x = \frac{2 \pm \sqrt2}{2}$ — это обратные значения $2 \mp \sqrt2$, что соответствует исходной факторизации.