Разложите (x + 1)/(x - 1)² на простейшие дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем подходящий шаблон для повторяющегося множителя. Для множителя $(x-1)^2$ необходимо взять по одному слагаемому для каждой степени до кратности включительно:

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   Если бы оставить только $\tfrac{B}{(x-1)^2}$, неизвестных было бы недостаточно, чтобы подобрать числитель первой степени.

2. 2

   Устраняем знаменатели. Домножим обе части на $(x-1)^2$:

   $x+1=A(x-1)+B$

3. 3

   Раскрываем скобки и группируем по степеням $x$.

   $x+1=Ax-A+B=Ax+(B-A)$

4. 4

   Приравниваем коэффициенты. Коэффициент при $x$ даёт $A=1$; свободный член даёт $B-A=1$, значит

   $B=1+A=2$

5. 5

   Записываем разложение и проверяем.

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   Проверим объединением: $\tfrac{(x-1)+2}{(x-1)^2}=\tfrac{x+1}{(x-1)^2}$ $\checkmark$. Проверим при $x=3$: слева $=\tfrac44=1$, справа $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$.