Решите неравенство |2x − 3| ≤ x − 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала потребуйте, чтобы правая часть была неотрицательной. Слева стоит модуль, поэтому левая часть $\ge 0$. Если $x-1<0$, неравенство невозможно, и это даёт жёсткое условие:

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   Именно этот «фильтр» отличает переменную правую часть от числовой: пропустив его, легко набрать фиктивных решений.

2. 2

   Замените модуль двойным неравенством. При $b\ge 0$ неравенство $|A|\le b$ равносильно $-b\le A\le b$. При $A=2x-3$ и $b=x-1$:

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

3. 3

   Решите левую половину. Раскройте скобки и приведите подобные:

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

4. 4

   Решите правую половину. Вычтите $x$ и прибавьте $3$:

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

5. 5

   Пересеките все три условия. Одновременно нужны $x\ge 1$, $x\ge\frac43$ и $x\le 2$; определяющими оказываются два последних:

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   Проверьте концы: при $x=\tfrac43$ имеем $\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$ и $x-1=\tfrac13$ $\checkmark$; при $x=2$ имеем $|1|=1$ и $x-1=1$ $\checkmark$. Снаружи, при $x=3$, получаем $|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$.